第五节：缺省逻辑¶

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1. 缺省规则¶

缺省规则可以表示为 \(\phi \colon \psi / \eta\)，读作：如果可以证明 \(\phi\) 且 \(\psi\) 是一致的（也就是不能证明 \(\neg \phi\)，或者说例外 \(\neg \psi\) 没有发生），那么可以推出 \(\eta\)。常见案例有原型推理和封闭世界推理：

原型推理：一个概念的大多数实例都具有某个特性，比如一般来说孩子都有父母可以表示为 \(\text{child}(x) \colon \text{parent}(x) / \text{parent}(x)\)；
封闭世界推理：如果一个句子为真，那么我们知道它为真，意思是不知道为真的句子都被假定为假的，可以表示为 \(\top \colon \neg \phi / \neg \psi\)。

2. 缺省逻辑的语法¶

缺省逻辑的语言：任何一阶语言都是缺省逻辑的语言，缺省逻辑中，所用到的项、公式等的定义与一阶语言里的相同。

缺省规则：缺省规则可以被形式化表示为 \(\delta = \dfrac{\varphi \colon \psi}{\chi}\)，其中 \(\varphi\) 称为先决条件，为一阶逻辑公式；\(\psi\) 称为缺省条件，为一阶逻辑公式；\(\chi\) 称为 \(\delta\) 的结论。使用 \(\operatorname*{pre}(\delta)\) 表示 \(\varphi\)，\(\operatorname*{cons}(\delta)\) 表示 \(\chi\)，\(\operatorname*{just}(\delta)\) 表示 \(\psi\)。

给定一条缺省规则模式 \(\delta = \varphi \colon \psi_1, \psi_2, \dots, \psi_n / \chi\)，对于任何基代换 \(\theta\)，可以得到如下闭规则 \(\delta \theta = \varphi \theta \colon \psi_1 \theta, \psi_2 \theta, \dots, \psi_n \theta / \chi \theta\)。

规范缺省规则：当一条缺省规则的缺省条件和结论相同的时候，称之为规范的，形如 \(\varphi \colon \chi / \chi\)。

缺省理论：一个缺省理论是一个二元组 \(T = \langle W, D \rangle\)，其中 \(W\) 是一个一阶逻辑公式集合，表示已经知道的或者约定的事实集合；\(D\) 是一个可数的缺省规则集合。当 \(D\) 中所有规则都是闭规则的时候，称 \(T\) 是闭理论。

3. 缺省逻辑的语义¶

给定一个缺省理论，其语义指的是可以接受或者相信哪些语句，被接受或者相信的语句集合被称为外延。

3.1 外延的不动点定义¶

对于一个缺省理论，首先事实是可以相信的，如果一条缺省规则在某个背景下可以被应用，那么其结论也是可信的。如果相信了一组语句，那么我们也相信这组语句的所有演绎结果。除了上述三点，我们不相信其他无关的语句。

缺省规则的应用：

极小扩充语句集合：

外延的不动点定义：

定理 1：

定理 2：闭缺省理论 \(T = \langle W, D \rangle\) 有不一致的外延当且仅当 \(W\) 不一致。

定理 3：任何正规缺省理论都有一个外延。

3.2 外延的操作定义¶

给定一个缺省理论 \(T = \langle W, D \rangle\)，把一个缺省规则的序列记为 \(\Pi = \left(\delta_1, \delta_2, \dots, \delta_n\right)\)，其中每一条规则最多在 \(\Pi\) 中出现一次，这个序列可以看作规则实施的顺序。

为了定义基于过程的外延，采用下面符号规定：

给定 \(\Pi\)，定义 \(\Pi[k]\) 为 \(\Pi\) 的长度为 \(k\) 的初始段；
使用 \(\operatorname*{In}(\Pi) = \operatorname*{Th}\left(W \cup \{ \operatorname*{cons}(\delta) \mid \delta \in \Pi \} \right)\) 表示实施 \(\Pi\) 中的规则而得到的结论的集合；
使用 \(\operatorname*{Out}(\Pi) = \left\{\neg \psi \mid \psi \in \operatorname*{just}(\delta), \delta \in \Pi \right\}\) 表示实施 \(\Pi\) 的规则后不能为真的公式的集合。

缺省规则的可应用性：

过程：

外延的操作定义：设 \(T = \langle W, D \rangle\) 是一个缺省理论，一组公式集合 \(E\) 是 \(T\) 的一个外延当且仅当存在一个成功且封闭的 \(T\) 的过程 \(\Pi\) 使得 \(E = \operatorname*{In}(\Pi)\)。

过程树：

4. 缺省证明¶

规范缺省理论：

缺省证明：

定理 4：

5. 怀疑的结论或轻信的结论¶

对于缺省理论 \(T = \langle W, D \rangle\)，使用 \(\operatorname*{Ext}(T)\) 表示 \(T\) 的所有外延的集合。

怀疑与轻信：设 \(T = \langle W, D \rangle\) 是一个缺省理论，\(\phi\) 为一个一阶命题，那么 \(T\) 怀疑推出 \(\phi\) 当且仅当对于 \(T\) 的所有外延，\(\phi\) 都在该外延中，也就是 \(\phi \in \cap_{E\in \operatorname*{Ext}(T)} E\)。\(T\) 轻信推出 \(\phi\) 当且仅当存在某一个外延 \(E\) 使得 \(\phi \in E\)，也就是 \(\phi \in \cup_{E\in \operatorname*{Ext}(T)} E\)。